勉強法 数学

展開の公式をイメージで理解する!図を使い展開公式を解説する

みなさん,展開の公式について、しっかりと「理解」できていますでしょうか。

 

展開の公式といえば、

(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}

などが頭に浮かんできますよね。

 

「そんなの知ってるよ!」という人もたくさんおられるでしょうが、単なる公式として覚えているだけでは「理解」とは程遠いです。

計算は簡単ですし、慣れてしまえばそれはそれで良いのですが、納得しないままただ公式として覚えるだけでは応用問題についていけません。

 

そこで今回は、展開の公式をイメージで理解する方法についてご紹介します。

 

「なるほど!」と納得するとともに,より深く展開を知ることができると思います。

みなさんも是非、自分で手を動かしてやってみましょう。

 

2乗の展開公式は正方形の面積で考える

まずは、はじめに例を出したような2乗の公式

(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}

について考えてみましょう。

 

この公式は、正方形の面積を考えることによって、イメージで視覚的に理解することができます。

さて、1辺の長さがa+bであるような正方形を考えてください。

 

この正方形の面積は当然

(a+b)^{2}

となりますよね。

 

次に、この正方形を次のような図に分けてみると、どうでしょうか。

正方形を一つ一つの部分に分けて見てみると,それぞれの部分は面積a^{2}が1個と、abの部分が2個、b^{2}の部分が1個に分けられるのがわかりますよね。

これらの面積を使い、1辺がa+bの、大きな正方形の面積を表してみましょう。

 

すると、

a^{2} + 2ab + b^{2}

となることがわかると思います。

 

これで「プラス」の場合の展開公式は

(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}

となることが理解できるでしょう。

 

このように、いつもはただの公式として覚えていたものを、論理的に理解することが数学で高得点を取る秘訣となります。

 

では、これと同じようにして、今度は「マイナス」の場合の公式

(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}

についてもイメージから考えてみましょう。

 

この場合は、次のような正方形をイメージします。

先程と同じように見えますが、今度は一番大きな辺がaとなっています。

このとき、大きな正方形の面積はa^{2}で、その中にある4つの四角形は、それぞれ面積(a-b)^{2}の部分が1個、面積(a-b)bの部分が2個、面積b^{2}の部分が1個となっています。

 

なので、これらを使って面積(a-b)^{2}の部分の面積を表してみると

(a-b)^{2} = a^{2} - 2b(a-b) - b^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}

となることがわかるでしょう。

 

これで「マイナス」の場合の展開の公式についても、四角形の面積を使ってイメージで理解することができましたね。

 

3乗の公式もイメージで理解してみよう!

続いては、3乗の公式

(a+b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}

についてです。こちらはどうなるでしょうか。

 

実は、今度は正方形の面積ではなくて「立方体の体積」になります。

紙に立体を書くのは少し難しいかもしれませんが、頑張って書いてみましょう。

 

1辺の長さがa+bであるような立方体は次の図のようになります。

よく見てみると、1辺がa+bの立方体は全部で8個の小さな直方体でできているのがわかります。

それぞれの体積を考えてみると、a^{3}の直方体が1個、a^{2}bの直方体が3個、ab^{2}の直方体が3個、b^{3}の直方体が3個です。

 

このことから、大きな立方体の体積を2つの方法で表すと

(a+b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}

となることがわかると思います。

 

これで、3乗の公式についてもイメージで理解することができましたね。

どうでしたか?

 

まとめ

今回は、算数や数学ではじめの方に習う展開の公式をイメージで理解する方法についてご紹介しました。

2乗の公式については長方形や正方形の面積で、3乗の公式については直方体や立方体の体積を使うと理解しやすいですね。

 

この記事で紹介したものだけでなく、(a+b+c)^{2}の公式や(a+b)(a-b) = a^{2}-b^{2}の公式についても同じようにイメージで理解することができます。

是非、自分で考えてみて、実際にやってみて下さい。今までよりも理解が深まりますよ!!

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講師 砂田

学習塾 Step by Stepの講師。担当は英語と社会。
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