勉強法 数学

苦手な人が多い図形の証明問題を解くコツを解説!実は非常に簡単なんです

 

証明なんて簡単!(整数編)に続いて、図形編です。

中学生の範囲においては、中学二年生の合同の証明と三年生で習う相似の証明です。

 

合同や相似には、合同条件・相似条件があります。(これは各自で必ず覚えてください。)

そしてある図形がその条件を完璧に満たしていることを示せば、合同・相似であることの証明が完了ます。

 

証明をしてみよう

突然ですが殺人事件です。犯人を推理してください。

≪事件内容からわかる犯人の条件≫

  • 被害者の胸の刺し傷から、犯人は左利きであると考えられる。
  • 事件発生当時に現場から男女の言い争う声が聞こえた。被害者は女性なので、犯人は男性であると考えられる。
  •  事件現場は被害者の自宅だった。安易に家の中へ入れていることから犯人は被害者の知人であると考えられる。

≪容疑者≫

  • 容疑者A:通報した隣人の女性。左利き。
  • 容疑者B:偶然その時間に近くをランニングしていた男性。左利き。
  • 容疑者C:被害者の恋人の男性。右利き。

 

さぁ、この三人の中で犯人は誰だと思いますか?

 

正解は……。

この中に犯人はいない。です。

 

三人とも、犯人の条件の内、2つは満たしていましたが、全てを満たしている人はいません。

すべての条件を満たしていなければ証明にはなりません。

 

実はこの三人とは別にもう一人だけ、犯行時間の頃に現場近くにいて、なおかつ犯行時間にアリバイの無い人物がいました。

容疑者D:被害者の友人の男性。左利き。

 

犯人の条件をすべて満たしていますね。

犯行が可能な4人の内、条件をすべて満たしているのは容疑者Dだけです。

 

それでは証明していきましょう。

犯人の証明 その1

 

容疑者Dにおいて、

  • 左利きである・・・①
  • 男性である・・・②
  • 被害者の知人である・・・③

①,②,③より犯人の条件を満たしているので、容疑者Dは犯人である。

 

この証明は不十分です。

確かに①,②,③が本当にそうであると仮定すれば、確かに容疑者Dは犯人であると言えます。

 

しかし、犯人の条件である①,②,③が本当に容疑者Dに当てはまっているのかが示せなければ、Dはしらばっくれるかもしれません。

例えば「僕が左利きだという証拠はないじゃないか。実は右利きなんだ。」と言われても仕方ありません。

 

ではそのことも踏まえてもう一度証明してみましょう。

犯人の証明 その2

 

容疑者Dにおいて、

  • ペンを投げて渡したところ、とっさに左手で掴んでいたため、左利きである・・・➀
  • 先ほど男子トイレで用を足していたため、男性である・・・②
  • 職場が同じで、メール履歴にも親し気なメールが残っていたため、被害者の知人である。・・・③

①,②,③より、犯人の条件を満たしているので、容疑者Dは犯人である。

 

これでDは言い逃れができませんね。

 

証明のポイント

①条件をすべて満たしていることを示す。

②その根拠も必ず示す。

この二つのポイントがわかっていれば、図形の証明もばっちりです。

 

合同の証明をしてみよう

では実際に合同の証明をしてみましょう。

最初にわかっておかないといけないのことだけ確認しておきます。

≪三角形の合同条件≫

・三組の辺がそれぞれ等しい

  辺  =辺  …①  

  辺  =辺  …② 

  辺  =辺  …③ 

というように、三組分の辺がそれぞれ等しいことを示す。

 

・二組の辺とその間の角がそれぞれ等しい

  辺  =辺  …①  

  辺  =辺  …②  

  ∠     =∠  …③  

というように、二組分の辺と一組分の角がそれぞれ等しいことを示す。

 

・一組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

  辺  =辺  …① 

  ∠     =∠  …②  

  ∠     =∠  …③  

というように、一組分の辺と二組分の角がそれぞれ等しいことを示す。

 

≪根拠として使えること≫

  • 仮定・・・問題文で書いてあることは正しいと仮定して使える。
  • 共通・・・同じ辺、同じ角を共通して使っていれば必ず等しい。
  • 対頂角・・・二直線が交わってできる向かい合った角は必ず等しい。
  • 平行線の錯角・同位角・・・平行なら錯角・同位角は必ず等しい。
  • 図形の性質・・・平行四辺形や正三角形など図形の持つ性質。

 

今回はこの二つの図形の合同を証明しましょう。

スクリーンショット 2016-07-05 16.36.03

 

 

 

 

合同の証明 その1

 

△ABOと△CDOについて、

  • AO=CO・・・①
  • ∠AOB=∠COD・・・②
  • ∠OAB=∠OCD・・・③

①,②,③より、一組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので

△ABO≡△CDO

 

これではさっきの犯人探しと一緒で不十分です。

なぜAO=COや、∠AOB=∠COD、∠OAB=∠OCDが言えるのかの根拠も示さなくてはなりません。

合同の証明 その2

△ABOと△CDOについて、

  • 仮定より、AO=CO・・・①
  • 対頂角は等しいので、∠AOB=∠COD・・・②
  • 平行線の錯角は等しいので、∠OAB=∠OCD・・・③

①,②,③より、一組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので

△ABO≡△CDO

これで証明終了です。

 

これもテンプレートを作ってみましょう。

合同の証明

  A  と△  B  について、

  •   根拠  より、  =  ・・・①
  •   根拠  より、  =  ・・・②
  •   根拠  より、  =  ・・・③

①,②,③より、  合  同  条  件   ので、

  A  ≡△  B  (証明終了)

 

図に書き込みをして、どことどこが等しいかを確認してください。

あとはどの合同条件を使うのか逆算して、上のテンプレートに当てはめればよいだけです。

 

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塾長 増田

学習塾 Step by Stepの塾長。担当は数学と理科、国語。
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