証明なんて簡単！（整数編）に続いて、図形編です。
中学生の範囲においては、中学二年生の合同の証明と三年生で習う相似の証明です。
合同や相似には、合同条件・相似条件があります。（これは各自で必ず覚えてください。）
そしてある図形がその条件を完璧に満たしていることを示せば、合同・相似であることの証明が完了します。
証明をしてみよう
突然ですが殺人事件です。犯人を推理してください。
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≪事件内容からわかる犯人の条件≫
≪容疑者≫
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さぁ、この三人の中で犯人は誰だと思いますか？
正解は……。
この中に犯人はいない。です。
三人とも、犯人の条件の内、2つは満たしていましたが、全てを満たしている人はいません。
すべての条件を満たしていなければ証明にはなりません。
実はこの三人とは別にもう一人だけ、犯行時間の頃に現場近くにいて、なおかつ犯行時間にアリバイの無い人物がいました。
| 容疑者Ｄ：被害者の友人の男性。左利き。 |
犯人の条件をすべて満たしていますね。
犯行が可能な4人の内、条件をすべて満たしているのは容疑者Ｄだけです。
それでは証明していきましょう。
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犯人の証明 その1
容疑者Ｄにおいて、
①,②,③より犯人の条件を満たしているので、容疑者Ｄは犯人である。 |
この証明は不十分です。
確かに①,②,③が本当にそうであると仮定すれば、確かに容疑者Ｄは犯人であると言えます。
しかし、犯人の条件である①,②,③が本当に容疑者Ｄに当てはまっているのかが示せなければ、Ｄはしらばっくれるかもしれません。
例えば「僕が左利きだという証拠はないじゃないか。実は右利きなんだ。」と言われても仕方ありません。
ではそのことも踏まえてもう一度証明してみましょう。
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犯人の証明 その2
容疑者Ｄにおいて、
①,②,③より、犯人の条件を満たしているので、容疑者Ｄは犯人である。 |
これでＤは言い逃れができませんね。
証明のポイント
①条件をすべて満たしていることを示す。
②その根拠も必ず示す。
この二つのポイントがわかっていれば、図形の証明もばっちりです。
合同の証明をしてみよう
では実際に合同の証明をしてみましょう。
最初にわかっておかないといけないのことだけ確認しておきます。
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≪三角形の合同条件≫ ・三組の辺がそれぞれ等しい 辺 ＝辺 …① 辺 ＝辺 …② 辺 ＝辺 …③ というように、三組分の辺がそれぞれ等しいことを示す。
・二組の辺とその間の角がそれぞれ等しい 辺 ＝辺 …① 辺 ＝辺 …② ∠ ＝∠ …③ というように、二組分の辺と一組分の角がそれぞれ等しいことを示す。
・一組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい 辺 ＝辺 …① ∠ ＝∠ …② ∠ ＝∠ …③ というように、一組分の辺と二組分の角がそれぞれ等しいことを示す。
≪根拠として使えること≫
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今回はこの二つの図形の合同を証明しましょう。
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合同の証明 その1
△ABOと△CDOについて、
①,②,③より、一組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので △ABO≡△CDO |
これではさっきの犯人探しと一緒で不十分です。
なぜAO=COや、∠AOB=∠COD、∠OAB=∠OCDが言えるのかの根拠も示さなくてはなりません。
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合同の証明 その2 △ABOと△CDOについて、
①,②,③より、一組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので △ABO≡△CDO |
これで証明終了です。
これもテンプレートを作ってみましょう。
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合同の証明 △ A と△ B について、
①,②,③より、 合 同 条 件 ので、 △ A ≡△ B (証明終了) |
図に書き込みをして、どことどこが等しいかを確認してください。
あとはどの合同条件を使うのか逆算して、上のテンプレートに当てはめればよいだけです。
塾長 増田
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