勉強法 数学

イメージで覚える正負のかけ算

 

中学数学で最初に躓くのが正負の数ではないでしょうか?

小学生の算数では、0より大きい数(正の数)と、0だけしか扱っていなかったのが、中学生になると0より小さい数(負の数)も扱わなくてはいけません。

正負の足し算、引き算は、数直線を考えればまだ解けますが、かけ算やわり算は数直線で考えるにはやや複雑です。

 

そこで、イメージで考えてみましょう。

2×3というのは、正の符号()と負の符号()を組み合わせると、以下の4パターンになります。

 

+2)×(+3

+2)×(-3

-2)×(+3

—2)×(-3

 

符号を抜いて考えると、答えは6になりますよね?

上の4パターンも数字自体は6になるのですが、6-6かのどちらかとなります。

ではそれがどちらになるか考えてみましょう。

 

イメージで考えてみる

プラス×プラス

まずは+2)×(+3から考えてみます。

プラスプラスをかけていますよね?

イメージで考えてみましょう。

プラスイメージ➀・・・自分の好きな人

プラスイメージ②・・・財布を拾った(実際は交番に届けてください)

 

これをかけ合わせてみます。

 

自分の好きな人が財布を拾った!

自分まで嬉しくなりますよね?だから答えもプラスです。

+2)×(+3)=+6 というわけです。

 

プラス×マイナス

次は(+2)×(-3)です。

プラスイメージ➀・・・自分の好きな人

マイナスイメージ②・・・財布を落とした

これをかけ合わせてみましょう。

 

自分の好きな人が財布を落としてしまった!

自分も悲しくなってしまいます。だから答えはマイナスです。

+2)×(-3)=-6となります。

 

マイナス×プラス

次は(-2)×(+3)です。何となく読めてきましたか?

マイナスイメージ➀・・・自分の嫌いな人

プラスイメージ②・・・財布を拾った

これをかけ合わせてみると……

 

自分の嫌いな人が財布を拾った!

なんと悔しいことか。これは自分にとってマイナスです。

つまり(-2)×(+3)=-6なんですね。

 

マイナス×マイナス

最後に(-2)×(-3)を考えてみましょう。

マイナスイメージ➀・・・自分の嫌いな人

マイナスイメージ②・・・財布を落とした

これをかけ合わせてみると

 

自分の嫌いな人が財布を落とした!

ざまぁみろ!!!これは自分にとってはプラスですよね。

(心優しい人にはこの考え方は向いていないかもしれません。私ならニヤッとします。)

 

—2)×(-3)=+6

ここが少しややこしいかもしれませんがとても重要で、マイナス×マイナスプラスになるんです。

 

3つの数字をかけたらどうなる?

 

例えば2×3×4で考えてみましょう。答えの数字は24なのですが、これも正負の組み合わせによって+24-24のどちらかになります。

全てのパターンを考えると8パターンもあるので一部を抜き出して考えてみます。

 

マイナス×プラス×マイナス

(—2)×(+3)×(-4)を考えてみます。

マイナスイメージ➀・・・自分の嫌いな人

プラスイメージ②・・・財布を拾った

マイナスイメージ③・・・財布の中身は空だった

 

これをかけ合わせると、

自分の嫌いな人が財布を拾ったけど、その中身は空だった!

嫌いなあいつがぬか喜びするわけですから、自分にとってはプラスです。

 

つまり、(—2)×(+3)×(-4)=+24 となり、

マイナス×プラス×マイナスプラスです。

 

プラス×マイナス×マイナス

(+2)×(-3)×(-4)もイメージしてみましょう。

プラスイメージ➀・・・自分の好きな人

マイナスイメージ②・・・財布を落とした

マイナスイメージ③・・・財布の中身は空だった

 

つまり、自分の好きな人が財布を落としたけどその中身は空だった!

不幸中の幸い、これはプラスですね。

財布を落としているんだからマイナスだろうというツッコミは勘弁してください。あくまでイメージです。

 

(+2)×(-3)×(-4)=+24

プラス×マイナス×マイナスプラスでした。

 

イメージなしで考える

 

イメージで考えてみましたが、これはあくまで最初に躓いた人用です。

いつまでもイメージで考え続けるわけにはいきません。

これまでの例からわかったことをもとにイメージから脱却しましょう。

 

大切なのは、マイナスどうしをかけ合わせるとプラスになるということです。

嫌いな人×財布を落とした

嫌いな人×拾った財布の中身が空だった

財布を落とした×財布の中身が空だった

など、マイナス×マイナスプラスになっていますよね?

 

これは4つ以上の数字をかけ合わせる時でも使えます。

 

例えばマイナスが4つの、

マイナス×マイナス×マイナス×マイナスだと、かけ算はどこからかけても問題ないので

マイナス×マイナス)×(マイナス×マイナスと考えると、

=(プラス)×(プラス)

プラス

 

マイナスが5つの、

マイナス×マイナス×マイナス×マイナス×マイナスでは

マイナス×マイナス)×(マイナス×マイナス)× マイナス

=(プラス)×(プラスマイナス

マイナス

です。

 

つまり、かけ合わせるマイナスの数が2,4,6,8,10……と偶数個の時は、答えの符号はプラスに、

かけ合わせるマイナスの数が1,3,5,7,9……と奇数個の時は、答えの符号はマイナスになるのです。

この時、プラスの数は一切気にしなくて構いません。

 

これをまとめてみましょう。

 

まとめ

 

正負のかけ算のポイント

➀ 答えが正か負かを決めるのはマイナスの数が偶数個あるか奇数個あるか

(偶数個あれば、奇数個あればプラスの数は関係ない)

② 答えが正か負か決めたら、あとは数字どうしかけるだけ

 

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塾長 増田

学習塾 Step by Stepの塾長。担当は数学と理科、国語。

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